Докажите, что отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совмещаются движением.

Для доказательства того, что отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совмещаются движением, воспользуемся свойствами движений в геометрии. Движения — это преобразования, сохраняющие расстояния между точками и формы фигур. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Совмещение отрезков равной длины

Отрезки равной длины имеют одинаковую метрическую характеристику — длину. Для совмещения таких отрезков применим следующее:

1. Выберем точку $A$ на первом отрезке и точку $B$ на втором отрезке.
2. Построим параллельный перенос (поступательное движение), чтобы точка $A$ совпала с точкой $B$.
3. Теперь расположим второй конец первого отрезка так, чтобы он совпал с концом второго отрезка:
   • Это можно сделать с помощью вращения вокруг точки $B$ на угол, равный углу между отрезками.

Так как длины отрезков равны, после применения этих движений (параллельного переноса и вращения) они совпадут.

2. Совмещение углов с равной градусной мерой

Для углов с равной градусной мерой рассмотрим следующее:

1. Угол определяется двумя лучами, исходящими из одной точки (вершины). Пусть у нас есть два угла: $\angle ABC$ и $\angle DEF$, такие что $\angle ABC = \angle DEF$.
2. Переносим вершину $B$ угла $\angle ABC$ в точку $D$ с помощью параллельного переноса.
3. Вращаем фигуру так, чтобы один из лучей угла $\angle ABC$ совместился с соответствующим лучом угла $\angle DEF$. Поскольку величина углов одинакова, второй луч тоже совпадёт после вращения.

Таким образом, углы равной градусной меры можно совместить движением.

Обобщение

Все описанные преобразования (параллельный перенос, вращение) являются движениями, которые сохраняют длины и углы. Поэтому отрезки равной длины и углы равной градусной меры всегда можно совместить движением.