Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: A(-6;-4;0) B(6;-6;2) C(10;0;4). Найдите координаты точки D и угол между векторами AC и BD.

Для того чтобы найти координаты точки D и угол между векторами AC и BD, давайте поэтапно решим эту задачу.

1. Найдем координаты точки D

Вектор AC в параллелограмме будет равен вектору BD, так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. Таким образом, мы можем использовать следующее свойство: сумма координат противоположных вершин параллелограмма даёт одинаковый результат.

Заданы координаты вершин:

• A(-6; -4; 0)
• B(6; -6; 2)
• C(10; 0; 4)

По свойству параллелограмма, можно записать уравнение для нахождения координат точки D:

где $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$, $\vec{D}$ — это векторы точек A, B, C, D, соответственно. Или, эквивалентно:

Подставляем координаты точек:

Выполняем поэтапные вычисления:

Таким образом, координаты точки D: D(-2; 2; 2).

2. Найдем угол между векторами AC и BD

Теперь найдем угол между векторами AC и BD. Для этого используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

где:

• $\vec{AC}$ — вектор от точки A до точки C,
• $\vec{BD}$ — вектор от точки B до точки D,
• $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$ — скалярное произведение векторов,
• $|\vec{AC}|$ и $|\vec{BD}|$ — длины векторов.

2.1. Находим векторы AC и BD

Вектор AC:

Вектор BD:

2.2. Вычисляем скалярное произведение AC и BD

Скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: