Сумма длин трёх измерений прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 равна 30, AB:A1A:AD=4:1:5. Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда

Для того чтобы решить задачу, давайте поэтапно разберёмся с условиями и определим необходимые параметры.

1. Параметры прямоугольного параллелепипеда: Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения (длины рёбер): $AB$, $A_1B_1$ и $AD$. Мы знаем, что сумма этих длин равна 30:

   $$AB + A_1B_1 + AD = 30.$$

   Также известно соотношение между длинами рёбер:

   $$AB : A_1A : AD = 4 : 1 : 5.$$

   Пусть длины рёбер параллелепипеда равны:

   $$AB = 4x, \quad A_1A = x, \quad AD = 5x.$$

2. Нахождение длины $x$: Подставим эти выражения в уравнение для суммы рёбер:

   $$4x + x + 5x = 30.$$

   Упростим:

   $$10x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 3.$$

   Теперь мы можем найти длины рёбер:

   $$AB = 4x = 4 \times 3 = 12, \quad A_1A = x = 3, \quad AD = 5x = 5 \times 3 = 15.$$

3. Диагонали граней параллелепипеда: Параллелепипед имеет 6 граней, и на каждой из них есть диагонали. Нужно найти наибольшую из диагоналей этих граней. Важно, что диагональ прямоугольной грани можно найти по теореме Пифагора.

   Грани параллелепипеда — это прямоугольники, у которых диагонали рассчитываются по формуле:

   $$d = \sqrt{a^2 + b^2},$$

   где $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.

   Рассмотрим возможные диагонали:

   • Для грани с рёбрами $AB$ и $A_1A$ (длины 12 и 3):

     $$d_1 = \sqrt{12^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153} \approx 12.37.$$

   • Для грани с рёбрами $AB$ и $AD$ (длины 12 и 15):

     $$d_2 = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} \approx 19.21.$$

   • Для грани с рёбрами $A_1A$ и $AD$ (длины 3 и 15):

     $$d_3 = \sqrt{3^2 + 15^2} = \sqrt{9 + 225} = \sqrt{234} \approx 15.29.$$

4. Ответ: Наибольшая диагональ среди всех граней — это диагональ грани с рёбрами $AB$ и $AD$, её длина примерно 19.21.

Таким образом, наибольшая диагональ граней параллелепипеда равна примерно 19.21.