В параллелограмме ABCD с острым углом А из вершины B опущен перпендикуляр BK к прямой AD, AD равно BK. Найдите угол C,угол D

Для того чтобы решить задачу, давайте рассмотрим геометрические свойства параллелограмма и применим их для нахождения углов $\angle C$ и $\angle D$.

1. Исходные данные:

   • Параллелограмм ABCD.
   • $\angle A$ — острый угол.
   • Перпендикуляр $BK$ опущен из вершины B на прямую AD.
   • $AD = BK$ — длина стороны параллелограмма равна длине перпендикуляра.

2. Геометрическое построение:

   • В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$ и $AD = BC$.
   • Поскольку $BK$ — перпендикуляр, то $\angle BKA = 90^\circ$.
   • Треугольник $ABK$ является прямоугольным, потому что $BK \perp AD$.

3. Используем теорему о высоте и равенстве отрезков:

   • Длина перпендикуляра $BK$ равна длине стороны $AD$, то есть $BK = AD$.
   • Параллелограмм, у которого высота, опущенная на одну из сторон, равна этой стороне, имеет некоторые особенности. В частности, это означает, что углы, образованные с прямой, будут иметь отношения, напоминающие углы прямоугольного треугольника.

4. Рассмотрение углов:

   • Параллелограмм имеет такие свойства, что противоположные углы равны, то есть $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.
   • Угол $\angle BKA = 90^\circ$, и так как $BK = AD$, треугольник $ABK$ равнобедренный. Это означает, что углы $\angle ABK$ и $\angle BAK$ равны.
   • Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, мы можем записать: $$\angle ABK + \angle BAK + \angle BKA = 180^\circ.$$ Так как $\angle BKA = 90^\circ$, то: $$\angle ABK + \angle BAK = 90^\circ.$$ Поскольку $\angle ABK = \angle BAK$, то каждый из этих углов равен $45^\circ$.

5. Нахождение углов параллелограмма:

   • $\angle A = \angle ABK + \angle BAK = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.
   • Так как углы $\angle A$ и $\angle C$ противоположны и равны, то $\angle C = 90^\circ$.
   • Углы $\angle B$ и $\angle D$ также противоположны и равны, а их сумма с углом $\angle C$ должна быть $180^\circ$, потому что сумма всех углов в параллелограмме равна $360^\circ$. То есть: $$\angle B + \angle D = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ.$$ Поскольку $\angle B = \angle D$, каждый из этих углов равен $45^\circ$.

6. Ответ:

   • Угол $\angle C = 90^\circ$.
   • Угол $\angle D = 45^\circ$.