Как найти синус альфа и косинус альфа,если тангенс альфа равен ?

Если вам известен тангенс угла $\alpha$, то найти синус и косинус можно с помощью тригонометрических идентичностей.

1. Используем соотношение для тангенса:

   Тангенс угла $\alpha$ определяется как отношение синуса к косинусу:

   $$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$

2. Связь между синусом и косинусом через единичную окружность:

   Существует основная тригонометрическая тождественность:

   $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$

Теперь, если вам дано значение $\tan(\alpha)$, например, $\tan(\alpha) = t$, то можно использовать следующее:

• Из первого уравнения можно выразить $\sin(\alpha)$ через $\cos(\alpha)$:

  $$\sin(\alpha) = t \cdot \cos(\alpha)$$

• Подставляем это выражение в тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:

  $$(t \cdot \cos(\alpha))^2 + \cos^2(\alpha) = 1$$ $$t^2 \cdot \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$ $$\cos^2(\alpha) \cdot (t^2 + 1) = 1$$ $$\cos^2(\alpha) = \frac{1}{t^2 + 1}$$ $$\cos(\alpha) = \pm \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}}$$

  Знак косинуса ($+$ или $-$) зависит от квадранта, в котором находится угол $\alpha$.

3. Нахождение синуса:

   Теперь, зная косинус, можно найти синус. Так как $\sin(\alpha) = t \cdot \cos(\alpha)$, подставляем найденное значение косинуса:

   $$\sin(\alpha) = t \cdot \left( \pm \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}} \right)$$

   То есть:

   $$\sin(\alpha) = \pm \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}$$

Итог:

• $\cos(\alpha) = \pm \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}}$
• $\sin(\alpha) = \pm \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}$

Знаки определяются в зависимости от квадранта угла $\alpha$. Если угол находится в первом или четвертом квадранте, то синус и косинус будут положительными и отрицательными соответственно. В других квадрантах знаки могут изменяться.