У прямокутному трикутнику висота і медіана, проведені до гіпотенузи,відповідно дорівнюють 24 см і 25 см. Знайдіть периметр трикутника.

Задача полягає в тому, щоб знайти периметр прямокутного трикутника, знаючи довжину висоти і медіани, проведених до гіпотенузи.

Позначимо:

• $a$, $b$ — катети трикутника;
• $c$ — гіпотенуза;
• висота на гіпотенузу — $h = 24$ см;
• медіана, проведена до гіпотенузи — $m = 25$ см.

Крок 1. Зв'язок між висотою, медіаною та гіпотенузою

У прямокутному трикутнику є важливі властивості, що пов'язують висоту і медіану з гіпотенузою.

1. Медіана трикутника, проведена до гіпотенузи, має таку властивість: її довжина дорівнює половині довжини гіпотенузи. Тобто, якщо $m = 25$, то:

   $$m = \frac{c}{2} \quad \Rightarrow \quad c = 2 \times 25 = 50 \, \text{см}.$$

2. Висота, проведена до гіпотенузи, зв'язана з площею трикутника. Площа трикутника можна виразити через катети $a$ і $b$ або через гіпотенузу $c$ та висоту $h$. Оскільки площа трикутника однакова в обох випадках, то можна записати:

   $$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch \quad \Rightarrow \quad ab = ch.$$

   Підставимо значення $c = 50$ і $h = 24$:

   $$ab = 50 \times 24 = 1200.$$

   Таким чином, добуток катетів $a$ і $b$ дорівнює 1200.

Крок 2. Використання теореми Піфагора

У прямокутному трикутнику виконується теорема Піфагора:

Підставимо значення $c = 50$:

Крок 3. Система рівнянь

Ми маємо дві рівняння:

1. $ab = 1200$,
2. $a^2 + b^2 = 2500$.

Цю систему можна розв’язати, використовуючи заміну. Позначимо $s = a + b$ — суму катетів і $p = ab$ — їхній добуток. Тоді з рівняння для суми квадратів маємо:

тобто:

Крок 4. Знаходимо катети

Тепер ми маємо систему:

1. $a + b = 70$,
2. $ab = 1200$.

Цю систему можна розв’язати через квадратне рівняння. Позначимо $a$ і $b$ коренями рівняння:

Розв’язуємо це рівняння за допомогою формули для коренів квадратного рівняння:

Отже, $x = 40$ або $x = 30$. Таким чином, катети $a = 40$ см і $b = 30$ см.

Крок 5. Периметр трикутника

Периметр трикутника обчислюється як сума всіх його сторін:

Отже, периметр трикутника дорівнює 120 см.