На чертеже mn параллельна ac. Периметр треугольника mbn равен 42, а периметр abc равен 84. Площадь тр. mbn равна 27. Чему равна площадь тр. abc?

Давайте разобьем задачу на несколько этапов, чтобы получить ответ.

1. Информация из условия:

• mn || ac — это значит, что прямые mn и ac параллельны, что сразу даёт нам важную подсказку о подобии треугольников.
• Периметр треугольника mbn равен 42.
• Периметр треугольника abc равен 84.
• Площадь треугольника mbn равна 27.

2. Рассмотрим подобие треугольников:

Так как mn параллельна ac, треугольники mbn и abc подобны по признаку параллельных сторон. Это значит, что их соответствующие стороны пропорциональны.

Обозначим коэффициент подобия между этими треугольниками через $k$. Тогда:

• Стороны треугольника mbn в $k$ раз меньше соответствующих сторон треугольника abc.
• Площадь треугольника пропорциональна квадрату коэффициента подобия, то есть если площадь треугольника mbn равна 27, то площадь треугольника abc будет в $k^2$ раз больше площади mbn.

3. Найдем коэффициент подобия $k$:

Периметр треугольника mbn составляет 42, а периметр треугольника abc — 84. Поскольку периметры треугольников также пропорциональны коэффициенту подобия, имеем:

Это означает, что коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

4. Вычислим площадь треугольника abc:

Площадь треугольника abc будет в $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ раз больше площади треугольника mbn. Площадь треугольника mbn равна 27, поэтому площадь треугольника abc будет:

Ответ:

Площадь треугольника abc равна 108.