Хорда АВ стягивает дугу окружности в 47 градусов. Касательные к окружности, проведенные в точках А и В, пересекаются в точке О. Найдите угол АОВ

Задача состоит в нахождении угла $\angle AOV$, где $A$ и $B$ — точки касания касательных к окружности, а хорда $AB$ стягивает дугу в 47 градусов.

1. Начальные данные:

   • Хорда $AB$ стягивает дугу окружности на угол 47 градусов, то есть угол $\widehat{AB} = 47^\circ$, где $\widehat{AB}$ — центральный угол, который опирается на дугу, ограниченную хордой $AB$.

2. Касательные и их свойства:

   • Касательные, проведенные в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $O$, образуя угол $\angle AOV$.
   • Касательные к окружности из одной точки равны по длине и делают одинаковые углы с радиусами, проведенными в точки касания. Это свойство будет важным при дальнейшем решении.

3. Суть задачи:

   • У нас есть окружность с центром в точке $O$, касательные $OA$ и $OB$, которые пересекаются в точке $O$.
   • Угол между касательными $\angle AOB$ — это угол, образующийся между двумя касательными, проведенными из точки пересечения (то есть из точки $O$).

4. Соотношение между углами:

   • Важно заметить, что угол между касательными в точке $O$, то есть $\angle AOB$, в два раза больше центрального угла, который опирается на дугу, стягиваемую хордой $AB$. Это известно из геометрии, где угол между двумя касательными к окружности из одной точки равен половине угла, опирающегося на соответствующую дугу окружности.

5. Решение:

   • Центральный угол, опирающийся на дугу, стягиваемую хордой $AB$, равен 47 градусам, то есть $\widehat{AB} = 47^\circ$.
   • Угол $\angle AOB$, который образуют касательные $OA$ и $OB$, будет в два раза больше, чем центральный угол $\widehat{AB}$. То есть: $$\angle AOB = 2 \times \widehat{AB} = 2 \times 47^\circ = 94^\circ.$$

Ответ: угол $\angle AOB$ равен 94 градусам.