Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 506.

Рассмотрим задачу: у нас есть параллелограмм, в котором биссектриса тупого угла делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Также известно, что периметр параллелограмма равен 506. Нужно найти меньшую сторону параллелограмма.

1. Определение переменных и ключевых данных

Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$, где $a$ — это сторона, которая прилегает к тупому углу, а $b$ — это сторона, противоположная тупому углу. Периметр параллелограмма равен $2a + 2b = 506$, отсюда:

Мы ищем меньшую сторону параллелограмма, то есть $b$, если $a > b$.

2. Использование свойства биссектрисы

Биссектриса тупого угла делит противоположную сторону в отношении 4 : 3. Это означает, что точка пересечения биссектрисы делит противоположную сторону $b$ на два отрезка в этом отношении. Пусть точка пересечения биссектрисы с противоположной стороной $b$ делит её на отрезки длиной $4x$ и $3x$, где $x$ — некоторый коэффициент. Тогда:

Таким образом, длина противоположной стороны $b$ выражается через $x$ как $b = 7x$.

3. Использование теоремы о биссектрисе

В параллелограмме биссектриса тупого угла делит противоположную сторону в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам. То есть, отношение отрезков на противоположной стороне равно отношению прилежащих сторон:

Таким образом, получаем:

4. Подстановка значений

Теперь подставим выражение для $a$ в уравнение для периметра:

Заменим $a$ на $\frac{4}{3}b$:

Приводим к общему знаменателю:

Умножим обе части уравнения на 3:

Теперь найдём $b$:

5. Найдём сторону $a$

Теперь, зная $b = 108$, найдём сторону $a$:

6. Ответ

Меньшая сторона параллелограмма — это $b = 108$.