В прямоугольной трапеции АВСД ( угол ВАД=90) с основаниями АД=24 и ВС=16 диагонали пересекаются в точке М, АВ=10.
1) доказать, что треугольники ВМС и АМД подобны.
2) найти площадь треугольника АМД

Для того чтобы ответить на вопросы, давайте начнем с анализа трапеции и ее свойств.

Заданы данные:

• Прямоугольная трапеция $ABCD$, где угол $\angle BAD = 90^\circ$.
• Основания: $AD = 24$, $BC = 16$.
• Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$.
• $AB = 10$.

1) Доказать, что треугольники $BMC$ и $AMD$ подобны

Для доказательства подобия треугольников $BMC$ и $AMD$ воспользуемся теоремой о пересечении диагонал прямоугольной трапеции, которая утверждает, что диагонали прямоугольной трапеции пересекаются в такой точке, что отрезки, образующиеся на этих диагоналях, пропорциональны. В нашем случае диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$, и эти отрезки будут пропорциональны.

Сначала рассмотрим трапецию $ABCD$. Из того, что угол $\angle BAD = 90^\circ$, мы можем сразу заметить, что линии $AB$ и $AD$ перпендикулярны. Диагонали трапеции пересекаются в точке $M$, и отрезки на диагоналях делятся пропорционально.

Конкретнее, по свойствам прямоугольной трапеции мы можем сказать, что:

Это означает, что треугольники $BMC$ и $AMD$ имеют равные углы при вершинах $M$, и их стороны пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны по критерию равенства углов и пропорциональности сторон.

2) Найти площадь треугольника $AMD$

Для нахождения площади треугольника $AMD$ можно использовать формулу площади треугольника через основание и высоту. В треугольнике $AMD$ основание $AD$ известно и равно 24, а высоту можно найти, используя перпендикуляр $AB$ к основанию $AD$.

Площадь треугольника $AMD$ можно вычислить по формуле для площади треугольника:

Основание треугольника $AMD$ — это отрезок $AD = 24$, а высота — это длина отрезка $AB = 10$, так как $AB$ перпендикулярно $AD$.

Таким образом, площадь треугольника $AMD$ будет:

Ответ: площадь треугольника $AMD$ равна 120 квадратных единиц.