В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 7, стороны оснований 3 и 5. Найдите её

Ответы на вопрос

Отвечает Черлёнок Тимофей.

Чтобы найти диагональ правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, нужно разобраться с геометрией её структуры. Давайте поэтапно разберём задачу.

Шаг 1: Понимание задачи

Правильная четырёхугольная усечённая пирамида — это пирамида с квадратным основанием, у которой верхнее основание также квадратное, но меньших размеров, чем нижнее. Высота пирамиды — это перпендикулярное расстояние от верха (вершины пирамиды) до центра основания.

В данной задаче:

Высота пирамиды $h = 7$
Стороны оснований — 3 и 5.

Это значит, что нижнее основание (большее) имеет сторону 5, а верхнее основание (меньшее) имеет сторону 3.

Шаг 2: Анализ диагонали пирамиды

Диагональ пирамиды — это отрезок, соединяющий противоположные углы нижнего основания и верхнего основания. Мы ищем длину этого отрезка.

Для этого разобьём задачу на несколько частей:

Нам нужно найти длину диагонали, которая соединяет углы квадратных оснований.
Это можно рассматривать как двухмерную задачу в пространстве, где диагональ будет гипотенузой прямоугольного треугольника.

Шаг 3: Расстояние между центрами оснований

Для начала найдём расстояние между центрами верхнего и нижнего основания. Сначала найдём координаты этих центров.

Центр нижнего основания будет в точке $(0, 0, 0)$ (например, в системе координат, где нижнее основание лежит в плоскости $z = 0$ ).
Центр верхнего основания будет находиться в плоскости $z = 7$ (по высоте пирамиды) и тоже в центре верхнего квадрата. Это будет точка $(0, 0, 7)$ .

Таким образом, расстояние между центрами оснований по оси $z$ будет равно 7 единиц.

Шаг 4: Найдём диагональ квадратных оснований

Теперь вычислим диагонали квадратных оснований. Диагональ квадрата с длиной стороны $a$ вычисляется по формуле:

d = a \sqrt{2}

Для нижнего квадрата (сторона 5):

d_{\text{низ}} = 5 \sqrt{2}

Для верхнего квадрата (сторона 3):

d_{\text{верх}} = 3 \sqrt{2}

Шаг 5: Используем теорему Пифагора для нахождения диагонали пирамиды

Диагональ пирамиды будет гипотенузой прямоугольного треугольника, где одна из сторон — это разница между диагоналями оснований, а другая — это высота пирамиды.

Разница между диагоналями оснований:

\Delta d = \frac{d_{\text{низ}} - d_{\text{верх}}}{2} = \frac{5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

Используем теорему Пифагора для нахождения длины диагонали пирамиды $D$ . Это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $\sqrt{2}$ и высотой пирамиды 7:

D = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 7^2} = \sqrt{2 + 49} = \sqrt{51}

Ответ:

Длина диагонали правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна $\sqrt{51}$ .

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 7, стороны оснований 3 и 5. Найдите её диагональ ( Подробней если можно ))