Основания равнобедренной трапеции равны 23 и 17. Тангенс одного из углов равен −3\8. Найдите площадь трапеции.

Для того чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нужно использовать несколько геометрических соображений и формул. Давайте пошагово решим задачу:

Дано:

• Основания трапеции $AB = 23$ и $CD = 17$.
• Тангенс одного из углов $\angle DAB = -\frac{3}{8}$.

1. Рассмотрим геометрические параметры

Трапеция равнобедренная, значит её боковые стороны $AD$ и $BC$ равны между собой. Также, угол $\angle DAB$ (или $\angle ABC$) одинаковый для обеих сторон.

Тангенс угла $\angle DAB$ равен $-\frac{3}{8}$. Обычно тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Мы будем использовать это свойство для нахождения высоты трапеции.

2. Находим высоту трапеции

Пусть высота трапеции равна $h$. Для этого представим, что боковая сторона $AD$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, где:

• Противолежащий катет — это высота $h$,
• Прилежащий катет — это половина разности длин оснований трапеции.

Разница оснований трапеции:

Половина этой разницы равна:

Таким образом, прямоугольный треугольник имеет катеты $h$ и 3, и угол $\angle DAB$ между ними. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (высоты $h$) к прилежащему катету (разности оснований, разделённой на 2), то есть:

Из условия задачи мы знаем, что $\tan(\angle DAB) = -\frac{3}{8}$. Значит:

Теперь найдём $h$:

3. Площадь трапеции

Теперь, когда у нас есть высота $h = \frac{9}{8}$, можем найти площадь трапеции. Площадь $S$ равнобедренной трапеции вычисляется по формуле:

Подставляем данные:

Выполняем умножение:

Ответ:

Площадь трапеции равна $22.5$ квадратных единиц.