Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании 45 градусов, а угол противолежащий основанию равен 60 градусов. Найти сторону, лежащию против угла 45 градусов.

Чтобы найти сторону треугольника, лежащую против угла в 45 градусов, воспользуемся свойствами треугольников и тригонометрией. У нас дан треугольник с основанием $AB = 10$ см, углом при основании $\angle A = 45^\circ$, и углом противолежащим основанию $\angle C = 60^\circ$.

1. Найдем третий угол треугольника:

   В треугольнике сумма углов равна $180^\circ$. Следовательно, угол $B$ можно найти как:

   $$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ.$$

2. Используем теорему синусов:

   Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

   $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},$$

   где:

   • $a$ — сторона против угла $A$,
   • $b$ — сторона против угла $B$,
   • $c$ — сторона против угла $C$.

   Обозначим искомую сторону (против угла $\angle A = 45^\circ$) как $AC = x$, основание $AB = c = 10$, а сторону $BC = b$.

   Для $c$ справедливо:

   $$\frac{c}{\sin C} = \frac{x}{\sin A}.$$

3. Подставляем известные значения:

   $$\frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{x}{\sin 45^\circ}.$$

   Знаем, что:

   $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Подставим их в уравнение:

   $$\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.$$

   Упростим дроби:

   $$\frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{x \cdot 2}{\sqrt{2}}.$$

   Сократим на 2:

   $$\frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{2}}.$$

   Умножим обе части на $\sqrt{2}$:

   $$x = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$$

4. Упростим выражение:

   Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

   $$x = \frac{20 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{20 \cdot \sqrt{6}}{3}.$$