сформулируйте СВОЙСТВО противолежащих сторон четырёхугольника описанного около окружности

Свойство противолежащих сторон четырёхугольника, описанного около окружности, формулируется следующим образом:

Суммы длин противоположных сторон четырёхугольника, описанного около окружности, равны.

Иными словами, если четырёхугольник $ABCD$ является описанным (в него можно вписать окружность), то выполняется равенство:

Обоснование свойства:

1. Для того чтобы четырёхугольник был описанным около окружности, необходимо и достаточно, чтобы сумма длин противоположных сторон была равной. Это связано с тем, что окружность будет касаться всех сторон четырёхугольника, а точки касания делят стороны таким образом, что соответствующие длины радиусов окружности совпадают.

2. Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$, в который вписана окружность. Пусть окружность касается сторон $AB, BC, CD, DA$ в точках $P, Q, R, S$ соответственно. Тогда длины отрезков, на которые делятся стороны точками касания, равны по свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки. То есть:

   • $AP = AS$,
   • $BP = BQ$,
   • $CR = CQ$,
   • $DR = DS$.

3. Сложим соответствующие равенства:

   $$AP + BP + CR + DR = AS + DS + BQ + CQ.$$

   Слева мы получаем периметр четырёхугольника, а справа — ту же сумму, но группированную по парам противоположных сторон. Таким образом, оказывается, что суммы противоположных сторон равны.

Практическое значение:

Свойство используется в задачах на доказательство, вычисление длин сторон и периметра, а также для проверки возможности описания окружности около данного четырёхугольника. Если суммы противоположных сторон не равны, то вписать окружность в такой четырёхугольник невозможно.