Даны точки: А(-2;-1), В(1;2), С(2;0)

постройте на 4х различных чертежах:

а)отрезок А1В1, симметричный отрезку АВ относительно точки С;

б) отрезок А2С2, симметричный отрезку АС относительно АВ;

в)отрезок А3В3,который получается параллельным переносом отрезка АВ на вектор АС;

г)отрезок А4С4,который получается поворотом отрезка АС вокруг точки В на 90* против часовой стрелки.

Укажите координаты точек А1, В1, А2, С2, А3, В3, А4, С4.

Решение задачи разобьём на четыре этапа, чтобы рассмотреть каждый пункт по отдельности. В конце каждого пункта укажем новые координаты точек.

а) Отрезок $A_1B_1$, симметричный отрезку $AB$ относительно точки $C$.

1. Для симметрии относительно точки $C(2, 0)$, каждую точку $P(x, y)$ преобразуем по формуле:

   $$P' = (2x_C - x, 2y_C - y),$$

   где $(x_C, y_C)$ — координаты точки $C$.

2. Применим формулу:

   • Для $A(-2, -1)$: $$A_1 = (2 \cdot 2 - (-2), 2 \cdot 0 - (-1)) = (6, 1).$$
   • Для $B(1, 2)$: $$B_1 = (2 \cdot 2 - 1, 2 \cdot 0 - 2) = (3, -2).$$

Координаты: $A_1(6, 1), B_1(3, -2)$.

б) Отрезок $A_2C_2$, симметричный отрезку $AC$ относительно прямой $AB$.

1. Уравнение прямой $AB$ в общем виде:

   $$y - y_A = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} (x - x_A),$$

   подставляем координаты $A(-2, -1)$ и $B(1, 2)$:

   $$y + 1 = \frac{2 - (-1)}{1 - (-2)}(x + 2) \implies y + 1 = x + 2 \implies y = x + 1.$$

2. Найдём симметричное изображение точки $C(2, 0)$ относительно прямой $y = x + 1$. Формула для нахождения симметричной точки относительно прямой:

   $$P' = \left( \frac{x + y - b}{2}, \frac{x + y + b}{2} \right),$$

   где $b = -1$ (свободный член уравнения прямой $-x + y - 1 = 0$).

   • Для $C(2, 0)$: $$x' = \frac{2 + 0 - 1}{2} = 0.5, \quad y' = \frac{2 + 0 + 1}{2} = 1.5 \implies C_2(0.5, 1.5).$$

Координаты: $A_2(-2, -1), C_2(0.5, 1.5)$.

в) Отрезок $A_3B_3$, который получается параллельным переносом отрезка $AB$ на вектор $AC$.

1. Найдём вектор $AC$:

   $$AC = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (2 - (-2), 0 - (-1)) = (4, 1).$$