Докажите что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся попалам

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Это утверждение можно доказать, используя геометрические свойства параллелограмма. Давайте рассмотрим это детально.

Доказательство:

1. Определение параллелограмма: Параллелограмм — это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны и равны. Обозначим его вершины $A$, $B$, $C$ и $D$, а диагонали — $AC$ и $BD$.

2. Обозначим точку пересечения диагоналей: Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

3. Свойства параллелограмма: В параллелограмме:

   • Противоположные стороны равны и параллельны ($AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$).
   • Треугольники, образованные диагоналями, равны по площади.

4. Координаты точек (для удобства доказательства): Для строгого доказательства можно воспользоваться аналитической геометрией. Пусть координаты вершин:

   • $A(x_1, y_1)$,
   • $B(x_2, y_2)$,
   • $C(x_3, y_3)$,
   • $D(x_4, y_4)$.

   Тогда диагонали пересекаются в точке $O$, координаты которой выражаются как среднее арифметическое координат противоположных вершин:

   $$O\left(\frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}\right) = \left(\frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2}\right).$$

   Это подтверждает, что $O$ — середина каждой диагонали.

5. Геометрическое доказательство (без координат): Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$:

   • В параллелограмме $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$.
   • Диагональ $AC$ является трансверсалью для параллельных сторон $AB$ и $CD$, а $BD$ — для $AD$ и $BC$.
   • Углы $\angle OAB = \angle OCD$ и $\angle OBA = \angle ODC$, так как они накрест лежащие при параллельных прямых.
   • Треугольники $AOB$ и $COD$ подобны по двум углам, а также равны по площади, так как диагонали разбивают параллелограмм на равновеликие треугольники.

   Аналогично доказывается для треугольников $BOC$ и $AOD$.

6. Вывод: Раз треугольники, образованные диагоналями, равны и их вершины совпадают, то точка $O$ делит диагонали $AC$ и $BD$ пополам.

Заключение:

Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Это свойство является следствием параллельности и равенства противоположных сторон фигуры.