Из точки B окружности опущен перпендикуляр BM на её диаметр AC. AB=4 см. Найдите радиус окружности если отрезок AM на 4 см меньше CM

Рассмотрим задачу.

Дано:

• Окружность с центром $O$ и диаметром $AC$.
• Из точки $B$, лежащей на окружности, проведён перпендикуляр $BM$ к диаметру $AC$.
• $AB = 4 \, \text{см}$.
• Отрезок $AM$ на $4 \, \text{см}$ меньше отрезка $CM$.

Нужно найти радиус окружности $R$.

Решение:

1. Обозначим радиус окружности: Радиус окружности обозначим $R$. Тогда диаметр $AC = 2R$.

2. Расположение точки $M$: Точка $M$ лежит на диаметре $AC$, и условие задачи даёт:

   $$AM + CM = AC = 2R.$$

   По условию $AM = CM - 4$, подставляем:

   $$(CM - 4) + CM = 2R.$$

   Объединим подобные:

   $$2CM - 4 = 2R.$$ $$CM = R + 2.$$

   Теперь найдём $AM$:

   $$AM = CM - 4 = (R + 2) - 4 = R - 2.$$

3. Используем теорему Пифагора: Точка $B$ лежит на окружности, а $BM$ — перпендикуляр к диаметру $AC$. Таким образом, треугольник $ABM$ — прямоугольный:

   $$AB^2 = AM^2 + BM^2.$$

   Подставляем известное значение $AB = 4$ и выражение для $AM$:

   $$4^2 = (R - 2)^2 + BM^2.$$ $$16 = (R - 2)^2 + BM^2.$$

4. Связь между $BM$ и радиусом $R$: В треугольнике $OMB$ (где $O$ — центр окружности), $OB$ — радиус $R$, и также по теореме Пифагора:

   $$OB^2 = OM^2 + BM^2.$$

   Здесь $OM = |R - CM| = |R - (R + 2)| = 2$ (так как $CM = R + 2$). Подставляем:

   $$R^2 = 2^2 + BM^2.$$ $$R^2 = 4 + BM^2.$$

   Выразим $BM^2$:

   $$BM^2 = R^2 - 4.$$

5. Подставляем $BM^2$ в уравнение для $AB^2$: Из пункта 3:

   $$16 = (R - 2)^2 + BM^2.$$

   Подставляем $BM^2 = R^2 - 4$:

   $$16 = (R - 2)^2 + (R^2 - 4).$$

   Раскрываем скобки:

   $$16 = (R^2 - 4R + 4) + R^2 - 4.$$

   Объединим подобные:

   $$16 = 2R^2 - 4R.$$

   Переносим всё в одну сторону:

   $$2R^2 - 4R - 16 = 0.$$

   Упростим:

   $$R^2 - 2R - 8 = 0.$$

6. Решаем квадратное уравнение: Решим $R^2 - 2R - 8 = 0$