Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, делят его угол на части, градусные меры которых относятся
как 4:7:4. Найдите углы треугольника

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

1. В треугольнике из одной вершины проведены высота и медиана.
2. Эти линии делят угол треугольника на три части, градусные меры которых относятся как $4:7:4$.

Нужно найти углы треугольника.

Шаг 1: Определим угол у вершины с высотой и медианой

Обозначим градусные меры трёх частей угла через $4x$, $7x$ и $4x$, где $x$ — некоторый коэффициент. Тогда полный угол у вершины равен:

Так как это угол одного из углов треугольника, его значение не превышает $180^\circ$.

Шаг 2: Угол, через который проходит высота

Высота треугольника делит угол на две части, которые находятся по разные стороны от неё. Высота перпендикулярна основанию, поэтому один из углов треугольника будет $90^\circ$.

Это означает, что угол у вершины, откуда проведена высота и медиана, равен $90^\circ$.

Шаг 3: Рассчитаем $x$

Если $15x = 90^\circ$, то:

Теперь найдём значения частей угла:

• Первая часть: $4x = 4 \cdot 6 = 24^\circ$,
• Вторая часть: $7x = 7 \cdot 6 = 42^\circ$,
• Третья часть: $4x = 4 \cdot 6 = 24^\circ$.

Таким образом, угол при вершине, из которой проведены высота и медиана, состоит из частей $24^\circ$, $42^\circ$, $24^\circ$.

Шаг 4: Остальные углы треугольника

Так как высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника, один из углов равен $90^\circ$. Следовательно, оставшиеся два угла в треугольнике суммарно составляют:

Угол при вершине, где проведены высота и медиана, равен $90^\circ$. Для остальных двух углов треугольника остаётся:

Ответ:

Углы треугольника равны $90^\circ$, $42^\circ$, $48^\circ$.