Дано точки М (3; a; -5) і К (7; 1; a). При якому значенні а, пряма МК паралельна площині 4x-3y+z-6=0?

Чтобы определить, при каком значении $a$ прямая $МК$ параллельна плоскости заданной уравнением $4x - 3y + z - 6 = 0$, нам нужно сначала найти направляющий вектор этой прямой, а затем проверить, удовлетворяет ли он условию параллельности прямой и плоскости.

Направляющий вектор прямой $МК$ можно найти, вычтя координаты точки $M$ из координат точки $K$. Имеем точки $M(3; a; -5)$ и $K(7; 1; a)$, поэтому вектор $\overrightarrow{MK} = (7-3; 1-a; a-(-5)) = (4; 1-a; a+5)$.

Уравнение плоскости $4x - 3y + z - 6 = 0$ можно представить в векторной форме как $\vec{n} = (4, -3, 1)$, где $\vec{n}$ — нормальный вектор плоскости.

Чтобы прямая была параллельна плоскости, направляющий вектор прямой должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости. Для проверки перпендикулярности двух векторов используется скалярное произведение векторов. Если скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны.

Рассчитаем скалярное произведение $\vec{n}$ и $\overrightarrow{MK}$: $\vec{n} \cdot \overrightarrow{MK} = 4 \cdot 4 + (-3) \cdot (1-a) + 1 \cdot (a+5) = 0$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $16 - 3 + 3a + a + 5 = 0$ $4a + 18 = 0$ $4a = -18$ $a = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$

Таким образом, прямая $МК$ будет параллельна плоскости $4x - 3y + z - 6 = 0$, если $a = -\frac{9}{2}$.