Треугольник АВС и квадрат AEFC не лежат в одной плоскости. Точки К и М - середины отрезков АВ и ВС соответственно. а) Докажите, что КМ паралельна ЕF б) Найдите КМ, если АЕ=8 см

Для решения этой задачи будем работать с пространственной геометрией. У нас есть треугольник $ABC$ и квадрат $AEFC$, которые не лежат в одной плоскости. Точки $K$ и $M$ — середины отрезков $AB$ и $BC$ соответственно.

а) Доказательство параллельности $KM$ и $EF$

Для доказательства того, что прямая $KM$ параллельна $EF$, нам нужно показать, что они лежат в параллельных плоскостях или имеют сонаправленные векторы.

1. Рассмотрим положение точек и плоскостей:

   • $ABC$ — плоскость треугольника.
   • $AEFC$ — плоскость квадрата.

   $AE$ и $EF$ принадлежат квадрату $AEFC$, и квадрат лежит в своей плоскости.

2. Определим векторы:

   • Пусть $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ и $\overrightarrow{BC} = \vec{v}$.
   • Точки $K$ и $M$ — середины отрезков, поэтому:
     • $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\vec{u}$.
     • $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\vec{v}$.
   • Вектор $\overrightarrow{KM}$ можно представить как разность векторов: $$\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\vec{v} - \frac{1}{2}\vec{u}.$$

3. Рассмотрим вектор $\overrightarrow{EF}$:

   • Вектор $\overrightarrow{EF}$ лежит на стороне квадрата $AEFC$, поэтому он будет направлен параллельно сторонам квадрата.

4. Сравнение направлений векторов:

   • Если мы покажем, что вектор $\overrightarrow{KM}$ пропорционален вектору $\overrightarrow{EF}$, то это означает, что они сонаправлены, а значит, прямые $KM$ и $EF$ параллельны.
   • Вектор $\overrightarrow{KM}$ направлен по средней линии треугольника $ABC$, а вектор $\overrightarrow{EF}$ параллелен сторонам квадрата $AEFC$. Оба вектора не зависят от высоты, поэтому $KM$ и $EF$ параллельны.

б) Нахождение длины $KM$, если $AE = 8$ см

1. Рассмотрим среднюю линию треугольника $ABC$:

   • Средняя линия $KM$ в треугольнике соединяет середины сторон $AB$ и $BC$.
   • По свойству средней линии треугольника, $KM$ параллельна $AC$ и равна половине длины $AC$.

2. Определим длину $AC$ через $AE$:

   • Поскольку $AEFC$ — квадрат и $AE = 8$ см, то длина стороны квадрата равна $8$ см.
   • Сторона $AC$ квадрата равна диагонали $AEFC$, которая также равна $AC$ по длине. Используем формулу длины диагонали квадрата: $$AC = AE \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \, \text{см}.$$

3. Найдём длину $KM$:

   • По свойству средней линии, длина $KM$ равна половине длины $AC$: $$KM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \, \text{см}.$$