Площадь параллелограмма ABCD равна 92. Точка F - середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABFD.

Чтобы найти площадь трапеции $ABFD$, начнем с анализа задачи:

1. Дано: Параллелограмм $ABCD$ с площадью $S = 92$. Точка $F$ — середина стороны $CD$. Необходимо найти площадь трапеции $ABFD$.

2. Свойства параллелограмма:

   • Площадь параллелограмма делится пополам любой диагональю. Таким образом, диагональ $AC$ (или $BD$) делит $ABCD$ на два треугольника с равными площадями. Площадь каждого из этих треугольников равна: $$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle CDA} = \frac{92}{2} = 46.$$

3. Свойства точки $F$:

   • Точка $F$ является серединой стороны $CD$. Это означает, что она делит сторону $CD$ на два равных отрезка, и отрезок $AF$ проходит внутри параллелограмма, соединяя вершину $A$ с серединой противоположной стороны.

4. Площадь трапеции $ABFD$:

   • Трапеция $ABFD$ состоит из треугольника $\triangle ABF$ и половины треугольника $\triangle CDA$, так как точка $F$ делит сторону $CD$ пополам.
   • Площадь $\triangle ABF$: Этот треугольник имеет ту же высоту, что и $\triangle ABC$, но его основание (отрезок $BF$) составляет половину стороны $BC$. Следовательно, площадь $\triangle ABF$ равна половине площади $\triangle ABC$: $$S_{\triangle ABF} = \frac{1}{2} \cdot S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 46 = 23.$$
   • Площадь части $\triangle CDA$, образующейся от точки $F$, составляет половину площади всего $\triangle CDA$, потому что точка $F$ делит сторону $CD$ пополам: $$S_{\triangle AFD} = \frac{1}{2} \cdot S_{\triangle CDA} = \frac{1}{2} \cdot 46 = 23.$$

5. Сложение площадей:

   • Суммируем площади $\triangle ABF$ и $\triangle AFD$, чтобы получить площадь трапеции $ABFD$: $$S_{ABFD} = S_{\triangle ABF} + S_{\triangle AFD} = 23 + 23 = 46.$$

Ответ: Площадь трапеции $ABFD$ равна $46$.