В треугольнике ABC угол A меньше угла B на 100°, а внешний угол при вершине A больше внешнего угла при вершине B в три раза. Найдите наибольшую разность двух внешних углов треугольника ABC.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где угол $A$ меньше угла $B$ на $100^\circ$, а внешний угол при вершине $A$ больше внешнего угла при вершине $B$ в три раза. Задача состоит в нахождении наибольшей разности двух внешних углов треугольника.

Обозначения и уравнения:

1. Обозначим углы треугольника $A, B, C$ соответственно $\alpha, \beta, \gamma$.
2. Внутренние углы треугольника удовлетворяют условию: $$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
3. Внешний угол треугольника равен $180^\circ$ минус внутренний угол. Соответственно: $$\text{Внешний угол при вершине } A: 180^\circ - \alpha,$$ $$\text{Внешний угол при вершине } B: 180^\circ - \beta,$$ $$\text{Внешний угол при вершине } C: 180^\circ - \gamma.$$
4. Согласно условию, $\alpha = \beta - 100^\circ$, и внешний угол при вершине $A$ в три раза больше внешнего угла при вершине $B$. Это можно записать как: $$180^\circ - \alpha = 3(180^\circ - \beta).$$

Решение уравнений:

1. Подставим $\alpha = \beta - 100^\circ$ в первое уравнение:

   $$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ,$$

   что даёт:

   $$(\beta - 100^\circ) + \beta + \gamma = 180^\circ.$$

   Упростим:

   $$2\beta - 100^\circ + \gamma = 180^\circ,$$ $$\gamma = 280^\circ - 2\beta.$$

2. Теперь используем условие для внешних углов:

   $$180^\circ - (\beta - 100^\circ) = 3(180^\circ - \beta).$$

   Упростим:

   $$180^\circ - \beta + 100^\circ = 540^\circ - 3\beta.$$ $$280^\circ - \beta = 540^\circ - 3\beta.$$

   Переносим $\beta$ в одну сторону:

   $$280^\circ + 3\beta = 540^\circ + \beta,$$ $$2\beta = 260^\circ,$$ $$\beta = 130^\circ.$$

3. Найдём $\alpha$ и $\gamma$:

   $$\alpha = \beta - 100^\circ = 130^\circ - 100^\circ = 30^\circ.$$ $$\gamma = 280^\circ - 2\beta = 280^\circ - 2(130^\circ) = 280^\circ - 260^\circ = 20^\circ.$$

Проверка внешних углов:

• Внешний угол при вершине $A$: $$180^\circ - \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ.$$
• Внешний угол при вершине $B$: $$180^\circ - \beta = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ.$$
• Внешний угол при вершине $C$: $$180^\circ - \gamma = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ.$$