К- ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДИАГОНАЛЕЙ B1D1 И A1C1 ПАРАЛЛЕПИПЕДА ABCDA1B1C1D1. РАЗЛОЖИТЕ ВЕКТОР BK ПО ВЕКТОРАМ BA=A, BB1=B, BC=C.

Для того чтобы найти точку пересечения диагоналей $B_1D_1$ и $A_1C_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, а также разложить вектор $\overrightarrow{BK}$ по векторам $\overrightarrow{BA} = \vec{A}$, $\overrightarrow{BB_1} = \vec{B}$ и $\overrightarrow{BC} = \vec{C}$, давайте разберем задачу поэтапно.

1. Координатное описание параллелепипеда

Пусть параллелепипед имеет вершины $A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$, где:

• $A(0, 0, 0)$ — начало координат.
• $B(a, 0, 0)$
• $C(0, b, 0)$
• $D(0, 0, c)$
• $A_1(0, 0, c)$
• $B_1(a, 0, c)$
• $C_1(0, b, c)$
• $D_1(a, b, c)$

Где $a, b, c$ — длины рёбер параллелепипеда.

2. Уравнения диагоналей

Для того чтобы найти точку пересечения диагоналей $B_1D_1$ и $A_1C_1$, определим уравнения этих прямых.

Диагональ $B_1D_1$:

Прямая, проходящая через точки $B_1(a, 0, c)$ и $D_1(a, b, c)$, имеет параметрическое уравнение:

где $t$ — параметр. То есть, уравнение диагонали:

Диагональ $A_1C_1$:

Прямая, проходящая через точки $A_1(0, 0, c)$ и $C_1(0, b, c)$, имеет параметрическое уравнение: