в прямоугольном параллелепипеде измерения равны 3 см,4 см,5 см.найдите угол между диагональю

Ответы на вопрос

Отвечает Валеев Ислам.

Для решения задачи найдем угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью его основания.

Даны измерения параллелепипеда: $a = 3 \, \text{см}, b = 4 \, \text{см}, c = 5 \, \text{см}$ .

1. Найдем длину диагонали параллелепипеда:

Диагональ $d$ выражается через стороны параллелепипеда по теореме Пифагора в трехмерном пространстве:

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Подставляем значения:

d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, \text{см}.

2. Найдем угол между диагональю и плоскостью основания (основание - плоскость $ab$ ):

Обозначим угол между диагональю $d$ и основанием как $\theta$ . Чтобы найти этот угол, нам нужно проецировать диагональ на плоскость основания $ab$ .

Проекция диагонали $d$ на плоскость основания $ab$ — это отрезок, равный диагонали основания $d_{\text{осн}}$ :

d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2}.

Подставляем значения:

d_{\text{осн}} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}.

3. Используем косинус угла:

Косинус угла $\theta$ между диагональю $d$ и её проекцией на основание выражается формулой:

\cos \theta = \frac{\text{Длина проекции диагонали на основание}}{\text{Длина диагонали}} = \frac{d_{\text{осн}}}{d}.

Подставляем значения:

\cos \theta = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

4. Найдем угол $\theta$ :

Угол $\theta$ , соответствующий $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , равен:

\theta = 45^\circ.

Ответ: Угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью его основания равен $45^\circ$ .

в прямоугольном параллелепипеде измерения равны 3 см,4 см,5 см.найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания