Точки А, В и С лежат на окружности диаметра 12, хорда ВС равна 6. Найдите градусную меру угла ВАС.

Чтобы найти градусную меру угла $\angle BAC$, мы воспользуемся следующими геометрическими свойствами:

1. Диаметр окружности как хорда: Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности, и диаметр окружности равен 12, то радиус $R$ окружности равен $6$ ($R = \frac{12}{2}$).

2. Свойство вписанных углов: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда является прямым ($90^\circ$). Следовательно, треугольник $ABC$ прямоугольный, где гипотенуза $AB$ — это диаметр окружности. Это даёт нам уверенность, что угол $\angle BAC$ — тот, который нужно найти, — вписан и его величину можно определить через геометрические или тригонометрические свойства.

3. Известные стороны треугольника: Нам известны:

   • $AB = 12$ (диаметр),
   • $BC = 6$ (хорда).

4. Найти сторону $AC$: Для этого используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2.$$

   Подставим известные значения:

   $$12^2 = AC^2 + 6^2,$$ $$144 = AC^2 + 36,$$ $$AC^2 = 144 - 36 = 108,$$ $$AC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}.$$

5. Используем тригонометрическую функцию: Чтобы найти угол $\angle BAC$, применим тригонометрическое отношение косинуса:

   $$\cos(\angle BAC) = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}.$$

   Подставим значения:

   $$\cos(\angle BAC) = \frac{6}{12} = 0.5.$$

6. Найдём угол: Если $\cos(\angle BAC) = 0.5$, то угол $\angle BAC$ равен:

   $$\angle BAC = 60^\circ.$$

Ответ:

Градусная мера угла $\angle BAC$ равна $60^\circ$.