Две стороны треугольника равны 11 см и корень из 75 см, а угол, противолежащий большей из них , равен 60 градусов .Найдите третью строну и другие углы этого треугольника

Для решения этой задачи мы воспользуемся теоремой косинусов и свойствами треугольников. Первым делом определим, какая из двух данных сторон больше: 11 см или $\sqrt{75}$ см.

1. Вычислим $\sqrt{75}$: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$ Поскольку $5\sqrt{3} \approx 5 \times 1.73 = 8.65$ (округленно), это меньше, чем 11 см. Таким образом, большей стороной является та, что равна 11 см.

2. Угол, противолежащий этой стороне, равен 60 градусов. Теперь мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти третью сторону (обозначим её как $c$), используя две известные стороны (11 см и $5\sqrt{3}$ см) и угол между ними (60 градусов).

   Теорема косинусов гласит: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$ где $a$ и $b$ — известные стороны, $c$ — неизвестная сторона, а $\gamma$ — угол между $a$ и $b$.

   Подставим наши значения: $c^2 = 11^2 + (5\sqrt{3})^2 - 2 \times 11 \times 5\sqrt{3} \times \cos(60^\circ)$ $c^2 = 121 + 75 - 110 \times \sqrt{3} \times \frac{1}{2}$ $c^2 = 196 - 55\sqrt{3}$

   Теперь найдём значение $c$, вычислив квадратный корень из $c^2$.

3. После того, как мы нашли длину третьей стороны, можно найти остальные два угла, используя теорему синусов или повторно теорему косинусов. Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла постоянно для всех сторон треугольника.

   $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$ где $a$, $b$, $c$ — стороны, а $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — противолежащие им углы.

   Используя эту формулу, можно найти два неизвестных угла.

Давайте сначала вычислим длину третьей стороны.

Длина третьей стороны треугольника равна примерно 10.04 см.

Теперь найдём оставшиеся два угла. Для этого мы можем использовать либо теорему синусов, либо повторно применить теорему косинусов. Я выберу теорему синусов, так как она обычно удобнее для нахождения углов.

Теорема синусов гласит: $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Мы уже знаем $a$, $b$, $c$ и угол $\gamma$ (60 градусов). Мы можем найти углы $\alpha$ и $\beta$, выразив их через синусы и используя известные стороны.

Начнём с нахождения угла $\alpha$, который лежит напротив стороны $a$: $\sin(\alpha) = \frac{a \sin(\gamma)}{c}$ $\alpha = \arcsin\left(\frac{a \sin(\gamma)}{c}\right)$

Аналогично найдём угол $\beta$, который лежит напротив стороны $b$: $\sin(\beta) = \frac{b \sin(\gamma)}{c}$ $\beta = \arcsin\left(\frac{b \sin(\gamma)}{c}\right)$

Вычислим эти углы. ​ 0 0 Пожаловаться