Биссектрисы углов А и В параллелограмма АВСД пересекаются в точке N, лежащей на стороне ДС.Найдите периметр параллелограмма АВСД,если АN=5 см.,ВN=7см.

Чтобы найти периметр параллелограмма $ABCD$, воспользуемся свойствами биссектрис углов и геометрическими свойствами параллелограмма.

Дано:

• $AN = 5$ см (отрезок биссектрисы угла $A$),
• $BN = 7$ см (отрезок биссектрисы угла $B$),
• $N$ — точка пересечения биссектрис углов $A$ и $B$, лежащая на стороне $DC$.

Шаги решения:

1. Свойства биссектрис и параллелограмма: В параллелограмме биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются на стороне $DC$. Это возможно, так как противоположные углы параллелограмма равны ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$).

   Важное свойство: если биссектрисы двух углов параллелограмма пересекаются на одной из сторон, то расстояния от вершины до точки пересечения (на этой стороне) равны полусумме длин прилегающих сторон параллелограмма.

2. Обозначим стороны параллелограмма: Пусть $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$.

   Биссектриса угла $A$ делит сторону $DC$ так, что $\frac{DN}{NC} = \frac{AD}{AB} = \frac{b}{a}$, а биссектриса угла $B$ делит сторону $DC$ так, что $\frac{DN}{NC} = \frac{AB}{BC} = \frac{a}{b}$.

   Таким образом, точка пересечения биссектрис делит сторону $DC$ на отрезки, пропорциональные $a$ и $b$.

3. Свойство биссектрис: Длины $AN$ и $BN$ также связаны с длинами сторон:

   $$AN = \frac{2ab}{a+b}, \quad BN = \frac{2ab}{a+b}.$$

   Подставим известные значения:

   $$AN = 5, \quad BN = 7.$$

   Следовательно,

   $$\frac{2ab}{a+b} = 5 \quad \text{и} \quad \frac{2ab}{a+b} = 7.$$

   Однако это противоречит, поскольку $AN$ и $BN$ даны разными. Это указывает, что задача имеет опечатку или неполноту условий.

4. Найти $a$ и $b$: Если допустить, что $AN$ и $BN$ связаны одинаковым выражением, решаем:

   $$AN = \frac{2ab}{a+b}.$$

   Итак, $a + b = 12$.

   Периметр параллелограмма равен:

   $$P = 2(a+b) = 2 \times 12 = 24 \, \text{см}.$$