Сторона ромба равна 90, острый угол равен 30. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Для решения задачи, нужно использовать свойства ромба и геометрические формулы.

1. Основные данные:

   • Сторона ромба $a = 90$.
   • Острый угол ромба $\alpha = 30^\circ$.

2. Радиус вписанной окружности ромба: Радиус вписанной окружности $r$ ромба можно выразить через его площадь $S$ и полупериметр $p$. Формула для радиуса вписанной окружности выглядит так:

   $$r = \frac{S}{p}$$

   где:

   • $S$ — площадь ромба,
   • $p$ — полупериметр ромба.

3. Площадь ромба: Площадь ромба можно вычислить по формуле:

   $$S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$$

   где $a$ — длина стороны ромба, а $\alpha$ — острый угол.

   Подставим известные данные:

   $$S = 90^2 \cdot \sin(30^\circ) = 8100 \cdot 0.5 = 4050$$

4. Полупериметр ромба: Полупериметр ромба $p$ равен половине периметра. Периметр ромба $P = 4a$, то есть:

   $$p = \frac{P}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$$

   Подставим $a = 90$:

   $$p = 2 \cdot 90 = 180$$

5. Рассчитываем радиус вписанной окружности: Теперь, зная площадь и полупериметр, можно найти радиус:

   $$r = \frac{S}{p} = \frac{4050}{180} = 22.5$$

Ответ: Радиус вписанной окружности ромба равен 22.5.