В прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов и гипотенузой 8 см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.

В данном вопросе рассматривается прямоугольный треугольник с углом 45 градусов и гипотенузой 8 см. Мы должны найти периметр треугольника, образованного средними линиями этого треугольника.

Шаг 1: Определим стороны исходного треугольника

Прямоугольный треугольник с углом 45 градусов является равнобедренным, то есть его катеты равны между собой. Для такого треугольника гипотенуза $c$ связана с катетами $a$ по теореме Пифагора:

Где $c$ — гипотенуза, а $a$ — длина каждого катета. Подставим значение гипотенузы, равное 8 см:

Теперь найдем $a$:

Таким образом, длины катетов треугольника равны $4\sqrt{2}$ см.

Шаг 2: Рассмотрим средние линии

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине её длины. В данном случае средние линии будут соединять середины катетов и гипотенузы.

• Первая средняя линия соединяет середины катетов, она будет параллельна гипотенузе. Длина этой линии равна половине гипотенузы, то есть $\frac{8}{2} = 4$ см.
• Вторая и третья средние линии соединяют середины гипотенузы и катетов, и их длины равны половине катетов, то есть $\frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Шаг 3: Периметр треугольника, образованного средними линиями

Теперь, зная длины всех сторон треугольника, образованного средними линиями, можем найти его периметр. Треугольник будет также прямоугольным, и его стороны будут равны:

• 4 см (половина гипотенузы),
• $2\sqrt{2}$ см (половина одного катета),
• $2\sqrt{2}$ см (половина другого катета).

Периметр $P$ этого треугольника равен сумме длин его сторон:

Ответ: периметр треугольника, образованного средними линиями, равен $4 + 4\sqrt{2}$ см.