.Треугольник FRT задан координатами своих вершин: F(2;-2), R(2;3), T(-2;1). а) Докажите, что треугольник FRT – равнобедренный.

б) Найдите высоту, проведенную из вершины F.

а) Для того чтобы доказать, что треугольник FRT равнобедренный, нужно показать, что два его ребра имеют одинаковую длину.

1. Сначала вычислим длины сторон треугольника.

• Расстояние между точками F(2; -2) и R(2; 3) (ребро FR):

  $$d(FR) = \sqrt{(x_R - x_F)^2 + (y_R - y_F)^2} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{0 + 25} = \sqrt{25} = 5$$

• Расстояние между точками R(2; 3) и T(-2; 1) (ребро RT):

  $$d(RT) = \sqrt{(x_T - x_R)^2 + (y_T - y_R)^2} = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

• Расстояние между точками F(2; -2) и T(-2; 1) (ребро FT):

  $$d(FT) = \sqrt{(x_T - x_F)^2 + (y_T - y_F)^2} = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Мы видим, что ребра $FR = 5$ и $FT = 5$, а $RT = 2\sqrt{5}$, что означает, что два ребра (FR и FT) равны между собой. Это доказывает, что треугольник FRT равнобедренный.

б) Теперь найдем высоту, проведенную из вершины F. Для этого нужно найти перпендикулярное расстояние от точки F до прямой, проходящей через точки R и T.

1. Для начала найдем уравнение прямой, проходящей через точки R(2; 3) и T(-2; 1). Сначала найдем её наклон (угловой коэффициент):

   $$k = \frac{y_T - y_R}{x_T - x_R} = \frac{1 - 3}{-2 - 2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$$

2. Теперь найдем уравнение прямой в виде $y = kx + b$. Подставим координаты точки R(2; 3) в уравнение:

   $$3 = \frac{1}{2} \cdot 2 + b \quad \Rightarrow \quad 3 = 1 + b \quad \Rightarrow \quad b = 2$$