Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между

Ответы на вопрос

Отвечает Абашева Виктория.

Для того чтобы найти угол между образующей конуса и плоскостью основания, давайте шаг за шагом разберёмся с задачей.

1. Условие задачи:

Известно, что площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади его основания.

2. Обозначения:

Обозначим радиус основания конуса как $r$ .
Обозначим высоту конуса как $h$ .
Обозначим образующую конуса (наклонную сторону) как $l$ .

3. Площадь боковой поверхности конуса:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

S_{\text{бок}} = \pi r l

где $r$ — радиус основания, а $l$ — образующая конуса.

4. Площадь основания конуса:

Площадь основания конуса — это площадь круга с радиусом $r$ , которая равна:

S_{\text{осн}} = \pi r^2

5. Условие задачи:

По условию, площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания:

S_{\text{бок}} = 2 \cdot S_{\text{осн}}

Подставляем выражения для площадей:

\pi r l = 2 \pi r^2

Сокращаем на $\pi r$ (предполагаем, что $r \neq 0$ ):

l = 2r

Таким образом, образующая $l$ в два раза больше радиуса основания $r$ .

6. Нахождение угла между образующей и плоскостью основания:

Теперь нам нужно найти угол $\alpha$ между образующей конуса и плоскостью основания. Этот угол связан с высотой и радиусом конуса. Мы можем использовать тригонометрию.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$ , радиусом $r$ и образующей $l$ , угол $\alpha$ между образующей и основанием выражается как:

\cos \alpha = \frac{r}{l}

Поскольку мы уже знаем, что $l = 2r$ , подставляем это в выражение:

\cos \alpha = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}

7. Находим угол:

Известно, что $\cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ$ .

Ответ:

Таким образом, угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания