Чему равен радиус окружности, вписанной в правильный треугольник?

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, можно выразить через сторону этого треугольника. Обозначим длину стороны правильного треугольника через $a$.

Правильный треугольник — это равносторонний треугольник, у которого все стороны и углы равны. В частности, каждый угол в нём равен 60°, а центр вписанной окружности совпадает с центром описанной, медиан, биссектрис и высот — это одна и та же точка.

Формула радиуса вписанной окружности в любой треугольник:

где:

• $r$ — радиус вписанной окружности,

• $S$ — площадь треугольника,

• $p$ — полупериметр треугольника.

Для правильного треугольника:

• Периметр $P = 3a$, значит, полупериметр $p = \frac{3a}{2}$,

• Площадь $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ (формула площади правильного треугольника).

Подставим в формулу радиуса:

Ответ: радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, равен $\frac{a \sqrt{3}}{6}$.

Если нужна просто формула или численное значение, то всё зависит от того, известна ли сторона. Но если сторона равна, например, 6, то радиус будет: