Задача по теореме косинусов))ВЫчислите стороны треугольника АВС если АС=28см, кут В =120 градусов,АВ+ВС=32см.

Для решения задачи используем теорему косинусов, которая гласит:

где:

• $c$ — сторона, противолежащая углу $\gamma$,
• $a$ и $b$ — остальные стороны,
• $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

В нашей задаче:

• $\text{AC} = 28$ см,
• $\angle B = 120^\circ$,
• $\text{AB} + \text{BC} = 32$ см.

Обозначим:

• $\text{AB} = x$,
• $\text{BC} = 32 - x$.

Теперь выразим стороны через известные данные и подставим их в формулу теоремы косинусов. Поскольку угол $B$ равен $120^\circ$, используем $\cos(120^\circ) = -0.5$.

Подставим данные в теорему косинусов для стороны $\text{AC}$:

Упрощаем выражение:

1. Вычислим квадрат обеих частей:

   $$784 = x^2 + (32 - x)^2 + x \cdot (32 - x)$$

2. Раскроем скобки:

   $$(32 - x)^2 = 1024 - 64x + x^2$$

   и

   $$x \cdot (32 - x) = 32x - x^2$$

3. Подставим это в уравнение:

   $$784 = x^2 + 1024 - 64x + x^2 + 32x - x^2$$

4. Сократим и упрощаем:

   $$784 = 2x^2 - 32x + 1024$$ $$0 = 2x^2 - 32x + 240$$

5. Разделим все уравнение на 2:

   $$0 = x^2 - 16x + 120$$

6. Найдём корни квадратного уравнения с помощью формулы:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 1$, $b = -16$, $c = 120$:

   $$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 480}}{2}$$ $$x = \frac{16 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$x = \frac{16 \pm 4}{2}$$

7. Получаем два решения:

   $$x_1 = \frac{16 + 4}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{16 - 4}{2} = 6$$

Итак, два возможных значения:

• Если $\text{AB} = 10$, то $\text{BC} = 32 - 10 = 22$.
• Если $\text{AB} = 6$, то $\text{BC} = 32 - 6 = 26$.

Оба варианта возможны, так как они соответствуют геометрическим ограничениям треугольника.

Таким образом, возможные стороны треугольника ABC:

1. $\text{AB} = 10$, $\text{BC} = 22$, $\text{AC} = 28$.
2. $\text{AB} = 6$, $\text{BC} = 26$, $\text{AC} = 28$.