В треугольнике ABC AC=BC=4, угол С равен 30 градусам. Найдите высоту АН.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и формулами для нахождения высоты.

1. Исходные данные:

   • Треугольник ABC равнобедренный, так как AC = BC = 4.

   • Угол C = 30°.

2. Нахождение углов:
   Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны. То есть углы при вершинах A и B равны. Обозначим их как угол A и угол B.

   Из теоремы о сумме углов треугольника:

   $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

   Подставим значение угла C:

   $$\angle A + \angle B + 30^\circ = 180^\circ$$ $$\angle A + \angle B = 150^\circ$$

   Так как углы A и B равны, получаем:

   $$2 \cdot \angle A = 150^\circ$$ $$\angle A = 75^\circ$$

   Значит, угол A = угол B = 75°.

3. Нахождение высоты:
   Теперь мы можем найти высоту AN, которая опущена на сторону BC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины A, делит сторону BC пополам, то есть BN = NC = 2.

   Рассмотрим треугольник ABN. В нем угол A = 75°, а сторона AB = 4. Мы можем воспользоваться тригонометрией для нахождения высоты AN.

   В треугольнике ABN:

   $$\sin(\angle A) = \frac{\text{противоположная сторона (AN)}}{\text{гипотенуза (AB)}}$$ $$\sin(75^\circ) = \frac{AN}{4}$$ $$AN = 4 \cdot \sin(75^\circ)$$

   Значение синуса угла 75° примерно равно 0.9659. Подставляем:

   $$AN = 4 \cdot 0.9659 = 3.8636$$

Таким образом, высота AN равна примерно 3.86.