На рисунке АВ || CD. а) Докажите, что АО : ОС = ВО : OD. б) Найдите АВ, если OD = 15 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см.

а) Чтобы доказать, что $\frac{АО}{ОС} = \frac{ВО}{ОД}$, будем использовать свойства подобных треугольников и теорему о пропорциональных отрезках.

Пусть на рисунке дана прямая, которая пересекает две параллельные прямые $AB$ и $CD$ в точке $O$. Из геометрии известно, что если одна прямая пересекает две параллельные прямые, то образуются подобные треугольники. В данном случае треугольники $AOB$ и $COD$ будут подобными, так как они имеют общую вершину $O$, угол $\angle AOB = \angle COD$ (углы при пересечении параллельных прямых) и угол $\angle OAB = \angle ODC$ (взаимные углы).

Из свойств подобных треугольников известно, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть:

б) Теперь, чтобы найти $AB$, используя данные: $OD = 15 \, \text{см}$, $OB = 9 \, \text{см}$, $CD = 25 \, \text{см}$, и зная, что $\frac{АО}{ОС} = \frac{ВО}{ОД}$, можно воспользоваться этой пропорциональностью.

Из пропорциональности сторон мы можем записать:

Преобразуем это:

Таким образом, $АО$ и $ОС$ относятся как 3 к 5. Теперь, зная, что $CD = 25 \, \text{см}$, можем выразить длины отрезков $AO$ и $OC$ через эту пропорцию.

Пусть длина $АО = 3x$, а длина $ОС = 5x$. Тогда, поскольку $CD = 25 \, \text{см}$ (сумма длин отрезков $AO$ и $OC$):

Решаем уравнение:

Теперь можем найти длины $AO$ и $OC$:

Таким образом, $АО \approx 9.375 \, \text{см}$, а $ОС \approx 15.625 \, \text{см}$.