Высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные 4 см и 9 см. Найдите площадь данного треугольника.

Гипотенуза разбита высотой на отрезки $p=4$ и $q=9$, значит $c=p+q=13$.

В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе удовлетворяет $h^{2}=pq$. Отсюда

Площадь равна $S=\tfrac12 c h=\tfrac12\cdot 13\cdot 6=39\;\text{см}^2$.

(Проверка через катеты: $a^2=cp=13\cdot 4=52\Rightarrow a=2\sqrt{13}$, $b^2=cq=13\cdot 9=117\Rightarrow b=3\sqrt{13}$, тогда $S=\tfrac12 ab=\tfrac12\cdot 2\sqrt{13}\cdot 3\sqrt{13}=39$.)

Ответ: $39\ \text{см}^2$.