Точка А не лежит в плоскости треугольника BCD. Точки P,R,S и T - середины отрезков AB,AD,CD и BC соответственно. а)докажите, что PRST-параллелограмм­ б)найдите AC,если BD=6 см, а периметр PRST равен 14 см.

Рассмотрим данный треугольник BCD и точку A, которая не лежит в его плоскости. Точки P, R, S и T – это середины отрезков AB, AD, CD и BC соответственно.

Часть а: Доказательство, что PRST – параллелограмм

Чтобы доказать, что PRST является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны и равны.

1. Сначала рассмотрим векторы сторон параллелограмма:

   • $\overrightarrow{PR}$ – это вектор, соединяющий точки P и R, то есть середины отрезков AB и AD.
   • $\overrightarrow{ST}$ – это вектор, соединяющий точки S и T, то есть середины отрезков CD и BC.

   Согласно теореме о средних линиях, вектора $\overrightarrow{PR}$ и $\overrightarrow{ST}$ параллельны и равны, потому что каждая из этих сторон является средней линией треугольников ABD и BCD соответственно.

2. Теперь рассмотрим другие стороны:

   • $\overrightarrow{PS}$ – это вектор, соединяющий середины отрезков AB и CD.
   • $\overrightarrow{RT}$ – это вектор, соединяющий середины отрезков AD и BC.

   Опять же, по теореме о средних линиях, $\overrightarrow{PS}$ и $\overrightarrow{RT}$ также будут параллельны и равны, так как каждая из этих сторон является средней линией в соответствующих треугольниках.

Так как противоположные стороны PRST равны и параллельны, то PRST – это параллелограмм.

Часть б: Найдите длину AC

Из условия известно, что периметр параллелограмма PRST равен 14 см, а длина BD равна 6 см.

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, можно выразить периметр через суммы двух сторон:

Отсюда

Теперь воспользуемся теоремой о средних линиях треугольника. Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны, которой она параллельна:

• $PR = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \text{ см},$
• $PS = \frac{1}{2} AC$.

Подставим $PR$ в уравнение:

отсюда

и тогда

Ответ: длина AC равна 8 см.