в треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка D такая,что ВD:ВА=1:3.Плоскость ,параллельная прямой АС и проходящая через точку D,пересекает отрезок ВС в точке D1. Найдите АС, если DD1=4 см

Для решения задачи начнем с анализа и введения обозначений. Пусть у нас есть треугольник $ABC$, и на стороне $AB$ выбрана точка $D$ так, что $\frac{BD}{BA} = \frac{1}{3}$, то есть $BD = \frac{1}{3}BA$. По условию, плоскость, параллельная прямой $AC$ и проходящая через точку $D$, пересекает отрезок $BC$ в точке $D_1$. Нам также известно, что длина отрезка $DD_1 = 4 \, см$.

Шаг 1: Введение переменных

Пусть:

• $AC = x$,
• $AB = 3k$, где $k$ — некоторая переменная длина, тогда $BD = k$.

Поскольку плоскость параллельна $AC$, это значит, что в ней сохраняется пропорциональность между длинами сторон треугольника.

Шаг 2: Пропорции в треугольнике

Точка $D$ делит сторону $AB$ в отношении $1:3$. Точка пересечения $D_1$, будучи точкой пересечения плоскости с отрезком $BC$, также будет делить отрезок $BC$ в том же отношении, поскольку плоскость параллельна прямой $AC$. То есть отрезок $BD_1$ будет равен $\frac{1}{3}$ от всего отрезка $BC$.

Пусть $BC = y$, тогда $BD_1 = \frac{1}{3}y$.

Шаг 3: Использование длины $DD_1 = 4 \, см$

Теперь у нас есть два треугольника: треугольник $BDA$ и треугольник $BD_1C$, которые являются подобными по признаку параллельности сторон. Так как стороны плоскости параллельны $AC$, отношения отрезков $BD$ к $BA$ и $BD_1$ к $BC$ совпадают. Используя это, мы можем записать следующее равенство пропорций:

Подставим известные значения:

Умножим обе части уравнения на $\frac{1}{3}y$:

Теперь умножим обе части уравнения на 9:

Итак, длина отрезка $BC$ равна $36 \, см$.

Шаг 4: Найдем $AC$

Теперь, используя подобие треугольников $BDA$ и $BD_1C$, запишем еще одно равенство пропорций, касающееся сторон $AC$ и $BC$:

Подставим известные значения:

Умножим обе части уравнения на 36:

Ответ:

Длина отрезка $AC$ равна $12 \, см$.