высота ВД прямоугольного треугольника АВС равна 24 см. и отсекает от гипотенузы АС отрезок ДС,равный 18 см.Найти АВ и cos А

Давайте решим задачу поэтапно.

1. Построение треугольника: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол A – прямой. Обозначим стороны:

   • AB = c (катет),
   • AC = b (катет),
   • BC = a (гипотенуза).

   Высота $ВД$ из вершины $В$ на гипотенузу $AC$ равна 24 см, и отрезок $ДС$ (где D – основание высоты на гипотенузе) равен 18 см.

2. Применение теоремы о высоте: Высота $ВД$ в прямоугольном треугольнике связывает длины сторон и отрезков гипотенузы. Согласно теореме:

   $$ВД^2 = ДС \cdot (АС - ДС)$$

   Подставим известные значения:

   $$24^2 = 18 \cdot (b - 18)$$ $$576 = 18b - 324$$ $$18b = 576 + 324$$ $$18b = 900$$ $$b = \frac{900}{18} = 50 \text{ см}$$

   Теперь мы нашли длину катета $AC$ (b).

3. Поиск длины $AB$: Теперь нам нужно найти $AB$. Мы можем использовать теорему Пифагора:

   $$a^2 = b^2 + c^2$$

   где $a = AC$, $b = AB$ и $c = BC$.

   Зная $ДС$ (18 см) и $ВД$ (24 см), мы можем найти $AB$:

   $$c = AB = \sqrt{b^2 - ВД^2}$$ $$c = \sqrt{50^2 - 24^2}$$ $$c = \sqrt{2500 - 576}$$ $$c = \sqrt{1924}$$ $$c \approx 43.87 \text{ см}$$

4. Поиск косинуса угла $A$: Косинус угла $A$ можно найти по определению:

   $$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} = \frac{43.87}{50}$$ $$\cos A \approx 0.8774$$

Таким образом, мы нашли следующие значения:

• Длина $AB$ (катет) равна примерно 43.87 см.
• Косинус угла $A$ равен примерно 0.8774.