Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см, а острый угол — 45°.

Для того чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нам нужно воспользоваться формулой для площади трапеции:

где:

• $a$ — меньшее основание,

• $b$ — большее основание,

• $h$ — высота.

В данном случае известно:

• Меньшее основание $a = 18$ см,

• Высота $h = 9$ см,

• Острый угол $\alpha = 45^\circ$.

Нам нужно найти большее основание $b$. Для этого воспользуемся геометрией трапеции.

Так как трапеция равнобедренная, её боковые стороны равны. Обозначим длину боковой стороны как $l$. Острый угол $45^\circ$ означает, что угол между боковой стороной и основанием $a$ равен 45°.

Чтобы найти большее основание $b$, разделим трапецию на два прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике гипотенуза — это боковая сторона $l$, а катеты — это высота трапеции $h$ и половина разности оснований трапеции. Из треугольника можно выразить половину разности оснований через $l$ и $h$:

Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получаем:

Теперь можем выразить большее основание $b$ как:

Чтобы найти $l$, используем прямоугольный треугольник, где один катет равен высоте $h = 9$ см, а другой катет — половине меньшего основания $\frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см. Используя теорему Пифагора, получаем:

Теперь можем найти большее основание $b$:

Теперь, зная значения $a = 18$ см, $b = 36$ см и $h = 9$ см, подставляем в формулу для площади:

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 243 см².