В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

В треугольнике $ABC$ даны углы $A = 20^\circ$ и $C = 60^\circ$. Чтобы найти угол между высотой $BH$ и биссектрисой $BD$, воспользуемся следующим пошаговым рассуждением.

1. Найдем угол $B$: Поскольку сумма углов треугольника равна $180^\circ$, мы можем найти угол $B$:

   $$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 20^\circ - 60^\circ = 100^\circ$$

2. Свойства биссектрисы $BD$: Биссектриса делит угол $B$ на два равных угла. Таким образом, каждый из углов, на которые делится угол $B$, равен:

   $$\frac{B}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$$

   Следовательно, биссектриса $BD$ образует угол $50^\circ$ с каждой из сторон $AB$ и $BC$.

3. Свойства высоты $BH$: Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому угол между $BH$ и $AC$ равен $90^\circ$.

4. Нахождение угла между $BH$ и $BD$: Поскольку $BH$ перпендикулярна $AC$, мы можем найти угол между $BH$ и $BD$ как разность между углом $\angle ABD = 50^\circ$ и углом между $BH$ и $AB$ (это угол у основания $AB$, равный $20^\circ$):

   $$\text{Искомый угол} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$$

Ответ: угол между высотой $BH$ и биссектрисой $BD$ равен $40^\circ$.