Площадь прямоугольного треугольника равна 72√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Чтобы найти длину катета, прилежащего к углу 60°, в прямоугольном треугольнике, если его площадь равна $72\sqrt{3}$, давайте разберёмся с условиями и воспользуемся известными свойствами прямоугольного треугольника.

Дано:

1. Площадь треугольника $S = 72\sqrt{3}$.
2. Один из острых углов равен 60°.

В прямоугольном треугольнике с углом 60° и 90° другой острый угол будет равен 30°. Это намекает на то, что треугольник можно рассматривать как прямоугольный треугольник с углами 30° и 60°, а значит, он является особым треугольником $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$, где катеты и гипотенуза связаны определёнными соотношениями.

Свойства треугольника $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$:

1. Катет, прилежащий к углу 30°, равен половине гипотенузы.
2. Катет, прилежащий к углу 60°, равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ от гипотенузы.

Обозначим:

• гипотенузу за $c$,
• катет, прилежащий к углу 60° (его и нужно найти), за $a$,
• катет, прилежащий к углу 30°, за $b$.

Тогда $a = \frac{\sqrt{3}}{2}c$ и $b = \frac{1}{2}c$.

Используем формулу площади

Площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2} \times a \times b$. Подставим выражения для $a$ и $b$:

Подставим значение площади, равное $72\sqrt{3}$:

Разделим обе стороны на $\sqrt{3}$:

Умножим обе стороны на 8:

Найдём $c$, извлекая квадратный корень:

Теперь найдём катет $a$, который прилежит к углу 60°:

Ответ:

Длина катета, прилежащего к углу 60°, равна $12\sqrt{3}$.