В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 42,4 см, а периметр треугольника ABM равен 34,3 см.

Рассмотрим задачу поэтапно и выделим важные моменты, чтобы найти длину медианы $AM$ в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$.

Шаг 1: Понять структуру треугольников

1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $BC$ и две равные стороны $AB$ и $AC$.
2. Проведена медиана $AM$, которая делит основание $BC$ пополам. Это значит, что $BM = MC$.
3. Периметр треугольника $ABC$ равен 42,4 см, а периметр треугольника $ABM$ равен 34,3 см.

Шаг 2: Ввести обозначения

Обозначим:

• $AB = AC = x$ — так как треугольник равнобедренный, стороны $AB$ и $AC$ равны.
• $BC = y$ — основание треугольника $ABC$.
• $AM = m$ — длина медианы, которую нужно найти.

Шаг 3: Составить уравнения на основе периметров

1. Периметр треугольника $ABC$:

   $$AB + AC + BC = 42,4$$

   Подставляя наши обозначения, получаем:

   $$x + x + y = 42,4 \Rightarrow 2x + y = 42,4$$

2. Периметр треугольника $ABM$:

   $$AB + BM + AM = 34,3$$

   Заметим, что $BM = \frac{y}{2}$, так как $AM$ — медиана, делящая $BC$ пополам. Подставим это в уравнение:

   $$x + \frac{y}{2} + m = 34,3$$

Теперь у нас есть система уравнений:

Шаг 4: Решить систему уравнений

1. Выразим $y$ из первого уравнения:

   $$y = 42,4 - 2x$$

2. Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

   $$x + \frac{42,4 - 2x}{2} + m = 34,3$$

   Упростим это уравнение:

   $$x + 21,2 - x + m = 34,3$$

   Получаем:

   $$m = 34,3 - 21,2 = 13,1$$

Ответ

Медиана $AM$ равна $13,1$ см.