Найдите косинус угла между векторами a и n=a-b, если b=3, a=4, (a^b)=60

Нужно найти косинус угла между векторами a и n = a - b, если:

• $|\mathbf a| = 4$

• $|\mathbf b| = 3$

• угол между $\mathbf a$ и $\mathbf b$ равен $60^\circ$

Обозначим искомый угол между векторами $\mathbf a$ и $\mathbf n$ через $\varphi$. Тогда

Так как $\mathbf n = \mathbf a - \mathbf b$, сначала найдём скалярное произведение $\mathbf a \cdot \mathbf n$:

Раскроем скобки:

Теперь вычислим по отдельности:

Тогда

Теперь найдём длину вектора $\mathbf n = \mathbf a - \mathbf b$:

Используем формулу:

Подставим значения:

Значит,

Теперь подставим всё в формулу косинуса:

Рационализируем знаменатель:

Ответ: