Найдите площадь прямоугольного треугольника,если радиусы его вписанной и описанной окружностей равны соответственно 2 см и 5 см

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной и описанной окружностей известны, воспользуемся следующими фактами и формулами.

Дано:

• $r$ — радиус вписанной окружности $= 2$ см.
• $R$ — радиус описанной окружности $= 5$ см.

Шаги решения:

1. Связь между радиусами и сторонами прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике:

   • Радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы $c$: $$R = \frac{c}{2}$$
   • Радиус вписанной окружности $r$ можно выразить через формулу: $$r = \frac{a + b - c}{2}$$ где $a$ и $b$ — катеты треугольника, а $c$ — его гипотенуза.

2. Нахождение гипотенузы $c$: Из формулы для описанной окружности $R = \frac{c}{2}$ получаем:

   $$c = 2R = 2 \times 5 = 10 \text{ см}$$

3. Выражение суммы катетов через радиус вписанной окружности: Подставляя значение $r = 2$ в формулу для вписанной окружности, получаем:

   $$r = \frac{a + b - c}{2}$$

   Подставим известные значения $r = 2$ и $c = 10$:

   $$2 = \frac{a + b - 10}{2}$$

   Умножим обе стороны на 2:

   $$4 = a + b - 10$$

   Отсюда $a + b = 14$.

4. Выражение площади прямоугольного треугольника: Площадь $S$ прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов:

   $$S = \frac{a \cdot b}{2}$$

   Но мы также знаем, что площадь можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр $p$ как:

   $$S = r \cdot p$$

   где полупериметр $p = \frac{a + b + c}{2}$.

5. Нахождение полупериметра $p$: Подставим значения $a + b = 14$ и $c = 10$:

   $$p = \frac{14 + 10}{2} = 12$$

6. Вычисление площади: Теперь подставим $r = 2$ и $p = 12$ в формулу для площади:

   $$S = r \cdot p = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см}^2$$

Ответ:

Площадь данного прямоугольного треугольника равна $24$ см².