В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите углы между плоскостями ABC и CDA1

Чтобы найти угол между плоскостями $ABC$ и $CDA_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, нужно рассмотреть взаимное расположение данных плоскостей и нормали к ним.

Шаги решения:

1. Обозначим точки и зададим координаты: Рассмотрим куб со сторонами, равными $a$, где вершины расположены следующим образом:

   • $A(0, 0, 0)$
   • $B(a, 0, 0)$
   • $C(a, a, 0)$
   • $D(0, a, 0)$
   • $A_1(0, 0, a)$
   • $B_1(a, 0, a)$
   • $C_1(a, a, a)$
   • $D_1(0, a, a)$

2. Определим уравнение плоскости $ABC$: Плоскость $ABC$ проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, и $C(a, a, 0)$. Эти точки лежат на основании куба, и плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью $z = 0$ (горизонтальная плоскость основания).

   Вектор нормали к плоскости $ABC$ будет перпендикулярен этой плоскости и направлен вдоль оси $z$: $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

3. Определим уравнение плоскости $CDA_1$: Плоскость $CDA_1$ проходит через точки $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$, и $A_1(0, 0, a)$.

   Чтобы найти вектор нормали к плоскости $CDA_1$, построим два вектора в этой плоскости:

   • Вектор $\vec{CD} = (0 - a, a - a, 0 - 0) = (-a, 0, 0)$
   • Вектор $\vec{CA_1} = (0 - a, 0 - a, a - 0) = (-a, -a, a)$

   Найдем векторное произведение $\vec{CD} \times \vec{CA_1}$:

   $$\vec{n}_{CDA_1} = \vec{CD} \times \vec{CA_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & 0 & 0 \\ -a & -a & a \\ \end{vmatrix} = (0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) \vec{i} - (0 \cdot a - (-a) \cdot 0) \vec{j} + ((-a) \cdot (-a) - 0 \cdot (-a)) \vec{k} = (0, -a^2, a^2)$$