В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону CD, делит её пополам и образует со стороной BC угол 30 градусов, AB=12 см .найдите периметр параллелограмма

Задача про параллелограмм, в котором высота, опущенная на сторону $CD$, делит её пополам и образует угол 30 градусов с стороной $BC$. Нам нужно найти периметр параллелограмма, если длина стороны $AB = 12$ см.

1. Обозначим элементы параллелограмма:

   • Пусть параллелограмм ABCD, где $AB = CD = 12$ см, так как противоположные стороны параллелограмма равны.
   • Высота, опущенная на сторону $CD$, делит её пополам. Обозначим точку деления высоты как $H$, тогда $CH = HD = \frac{CD}{2} = 6$ см.
   • Угол между стороной $BC$ и высотой, опущенной на сторону $CD$, равен 30°.

2. Используем тригонометрию для нахождения высоты:

   • Высота $h$ (это расстояние от вершины $B$ до стороны $CD$) связана с углом 30° и стороной $BC$. В треугольнике $BCH$ мы можем использовать синус угла: $$\sin(30^\circ) = \frac{h}{BC}$$ Известно, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, значит: $$\frac{h}{BC} = \frac{1}{2}, \quad h = \frac{BC}{2}$$ Таким образом, высота $h = \frac{BC}{2}$.

3. Найдем длину стороны $BC$:

   • В треугольнике $BCH$ по теореме Пифагора можно найти длину стороны $BC$. В этом треугольнике гипотенуза $BC$, одна из катетов — это половина стороны $CD$, то есть $CH = 6$ см, а другой катет — это высота $h$, которую мы выразили как $\frac{BC}{2}$. Применяем теорему Пифагора: $$BC^2 = CH^2 + h^2 = 6^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2$$ Подставляем и упрощаем: $$BC^2 = 36 + \frac{BC^2}{4}$$ Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби: $$4BC^2 = 144 + BC^2$$ Переносим все слагаемые с $BC^2$ в одну сторону: $$3BC^2 = 144$$ Разделим на 3: $$BC^2 = 48$$ Таким образом, длина стороны $BC$: $$BC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \, \text{см}.$$

4. Нахождение периметра параллелограмма: Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. Мы знаем, что $AB = CD = 12$ см, а $BC \approx 6.93$ см. Таким образом, периметр параллелограмма:

   $$P = 2(AB + BC) = 2(12 + 6.93) = 2 \times 18.93 = 37.86 \, \text{см}.$$

Ответ: периметр параллелограмма примерно равен 37.86 см.