Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O , BC=7 , AD=9 , AC=32 . Найдите AO .

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, где диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Даны длины оснований $BC = 7$, $AD = 9$, и длина диагонали $AC = 32$. Нам нужно найти длину $AO$, где точка $O$ делит диагональ $AC$ на два отрезка $AO$ и $OC$.

Решение

1. Свойство пересечения диагоналей трапеции
   В трапеции диагонали делятся в точке пересечения в отношении, равном отношению длин оснований:

   $$\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC}.$$

   Обозначим $AO = x$ и $OC = 32 - x$ (так как $AC = 32$).

2. Подставим соотношение
   Используя данное соотношение:

   $$\frac{x}{32 - x} = \frac{9}{7}.$$

3. Решим уравнение
   Умножим крест-накрест:

   $$7x = 9(32 - x).$$

   Раскроем скобки:

   $$7x = 288 - 9x.$$

   Перенесем $9x$ в левую часть:

   $$7x + 9x = 288.$$ $$16x = 288.$$

   Разделим обе части на 16:

   $$x = 18.$$

4. Ответ
   Длина $AO = 18$.

Таким образом, отрезок $AO$, на который точка $O$ делит диагональ $AC$, равен 18 единицам.