В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120 градусов, а высота ВР равна 13 см. Найдите боковую сторону треугольника АВС.

Давайте разберем задачу по шагам и найдем боковую сторону треугольника $ABC$.

Условие:

• Треугольник $ABC$ равнобедренный.
• Основание $AC$.
• Угол при вершине $B = 120^\circ$.
• Высота $BP = 13$ см, причем высота проведена к основанию $AC$.

Нужно найти боковую сторону $AB = BC$.

Решение:

1. Свойства равнобедренного треугольника:

   • Высота, проведенная к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
   • Таким образом, точка $P$, в которую попадает высота $BP$, делит основание $AC$ пополам: $$AP = PC = \frac{AC}{2}.$$

2. Угол в треугольниках:

   • Каждый из двух прямоугольных треугольников ($\triangle ABP$ и $\triangle CBP$) имеет угол $\angle ABP = \angle CBP = 60^\circ$ (так как высота делит угол $120^\circ$ пополам).

3. Используем тригонометрию: В прямоугольном треугольнике $\triangle ABP$:

   • Гипотенуза — это боковая сторона $AB$, которую нужно найти.
   • Противолежащий катет: $BP = 13$ см.
   • Прилежащий катет: $AP = \frac{AC}{2}$.

   Для нахождения гипотенузы $AB$, используем определение синуса:

   $$\sin(60^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BP}{AB}.$$

   Подставляем известные значения:

   $$\sin(60^\circ) = \frac{13}{AB}.$$

4. Численное значение синуса:

   $$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Подставляем это в уравнение:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{13}{AB}.$$

5. Решаем уравнение: Умножим обе части на $AB$ и затем разделим на $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

   $$AB = \frac{13 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{26}{\sqrt{3}}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

   $$AB = \frac{26 \sqrt{3}}{3}.$$

Ответ:

Боковая сторона треугольника $AB$ (или $BC$) равна $\frac{26\sqrt{3}}{3}$ см.