Один из углов прямоугольного треугольника равен60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна42 см. Найти длину гипотенузы

Задача на нахождение длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике с известным углом и условием для суммы гипотенузы и катета.

1. Дано:

   • Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°.
   • Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см.

2. Обозначим:

   • Пусть гипотенуза треугольника будет $c$,
   • Меньший катет, который противолежит углу 60°, обозначим $a$,
   • Больший катет, противолежащий углу 30°, обозначим $b$.

   У нас есть информация, что:

   $$c + a = 42$$

3. Используем тригонометрические соотношения: В прямоугольном треугольнике с углом 60°:

   • Косинус угла 60° связан с катетами следующим образом: $\cos(60^\circ) = \frac{a}{c} = \frac{1}{2}$, откуда можно выразить $a$ через $c$:
   $$a = \frac{c}{2}$$

4. Подставим выражение для $a$ в уравнение: Мы знаем, что $c + a = 42$, подставим сюда $a = \frac{c}{2}$:

   $$c + \frac{c}{2} = 42$$

5. Решаем это уравнение: Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 2:

   $$2c + c = 84$$ $$3c = 84$$ $$c = \frac{84}{3} = 28$$

6. Ответ: Длина гипотенузы $c = 28$ см.

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 28 см.